ver calc r4c, Ostatnia zmiana: 2008-11-2 18:33, kompilacja: 4. stycznia 2009sgh.
Obliczenia wykonano za pomocą pakietu CalcTEX:
http://sg.bzip.pl/CalcTeX
mailto: CalcTeX (at) onet (dot) eu


Zadanie - wypływ okołodźwiękowy ze zbiornika


Oblicz prędkość wypływu powietrza ze zbiornika, jeśli ciśnienie powietrza w zbiorniku wynosi $p_o:=1.8 \cdot \left[ {\rm atm} \right]$ a temperatura $T_o:=(15+273.15) \cdot {\rm K} ,$ zaś ciśnienie otoczenia - na zewnątrz zbiornika wynosi $p_{a}:=760.0 \cdot \left[ {\rm mmhg} \right]$ oraz oblicz maksymalną możliwą prędkość wypływu jak i lokalną Liczbę Macha dla prędkości wypływu.


Rozwiązanie


Dla powietrza mamy:
$\kappa:=1.4$ - wykładnik adiabaty dla powietrza
$R_{air}:=287.05 \cdot \left[ {\rm J} \right]/(\left[ {\rm kg} \right]\cdot {\rm K})$ - indywiadualna stała gazowa dla powietrza
Dane:
$T_o \cdot {\rm K^{-1}}= 288.15$ - temperatura w zbiorniku,
$p_o \cdot \left[ {\rm hPa^{-1}} \right]= 1823.85$ - ciśnienie w zbiorniku,
$p_a \cdot \left[ {\rm hPa^{-1}} \right]= 1013.25$ - ciśnienie na zewnątrz zbiornika.

Rysunek: Schemat zbiornika z zaznaczonym ciśnieniem w zbiorniku $p_o$ i ciśnieniem na zewnątrz zbiornika $p_a.$

Obliczenie współczynnika $\beta$ określającego charakter przepływu

$$\beta=\frac{p_{a}}{p_o};\;\;\;\; \beta_{kr}:=\left(\frac{2.0... ...}\right)^{\kappa/(\kappa-1)} ;\;\; \beta_{kr}= 0.528281787717$$

w naszym przypadku

$$\beta:=\frac{p_a}{p_o} ;\;\;\; \beta= 0.555555555557$$

Równanie Bernulliego dla gazu nieściśliwego o postaci (1):

$$\frac{1}{2}\rho_o v_o^2 + p_o = \frac{1}{2}\rho_1 v_1^2 + p_1$$ (1)

ulegnie przekształceniu przez wprowadzenie wyrażenia na gęstość dla przemiany np. adiabatycznej

$$\frac{p_o}{p_1}=\left( \frac{\rho_o}{\rho_1}\right)^{\kappa}$$ (2)

gdzie $\kappa=c_p/c_v$ wówczas otrzymamy równanie Bernulliego w postaci:

$$\frac{v_o^2}{2}+\frac{\kappa}{\kappa-1}\frac{p_o}{\rho_o} =\frac{v_1^2}{2}+\frac{\kappa}{\kappa-1}\frac{p_1}{\rho_1}$$ (3)

Prędkość wypływy powietrza ze zbiornika można wyliczyć z zależności Saint-Vennanta i Wantzela w formie (4) którą wyznaczamy na podstawie zależności (3) przy założeniu $v_o:=0$

$$v_{exit}:=\sqrt{ 2\cdot\frac{\kappa}{\kappa-1} \cdot \fra... ...}{p_o} \right)^{ \left( \kappa -1\right)/\kappa}\right) }$$ (4)

lub stosując równanie stanu gazu doskonałego

$$pV=mRT;\;\; m=\rho V;\;\;pV=\rho VRT\;\;\Leftrightarrow \frac{p_o}{\rho_o}=RT$$ (5)

Podstawiając (5) do (4) otrzymamy (6):

$$v_{exit}:=\sqrt{2 \cdot \frac{\kappa}{\kappa-1} \cdot R_{air... ...\rm m^{-1}} \right]/\left[ {\rm s^{-1}} \right]= 299.181213572$$ (6)

Maksymalna możliwa prędkość wypływu powietrza ze zbiornika uzyskamy gdy $p_a/p_o=0$ wówczas otrzymamy:

$$v_{kr}:=\sqrt{\frac{2 \cdot \kappa}{\kappa-1} \cdot R_{air} ... ...{\rm m^{-1}} \right]/\left[ {\rm s^{-1}} \right]= 760.91668565$$

$v_{max}:=v_{kr}$ $v_{max} \cdot \left[ {\rm km^{-1}} \right]/\left[ {\rm hr^{-1}} \right]= 2739.30006834$
Lokalna prędkość dźwięku (dla przemiany adiabatycznej):

$$a_{l}:=\sqrt{\kappa \cdot R_{air} \cdot T_o} ;\;\;\; a_{l} ... ...\rm m^{-1}} \right]/\left[ {\rm s^{-1}} \right]= 340.292286865$$

Lokalna Liczba Macha

$$M:=\frac{v_{exit}}{a_l} ;\;\; M= 0.879188935864$$

Odp.: Prędkość wypływy powietrza ze zbiornika wynosi $v_{exit} \cdot \left[ {\rm m^{-1}} \right]/\left[ {\rm s^{-1}} \right]= 299.181213572 ,$ jeśli w zbiorniku panują warunki $T_o \cdot {\rm K^{-1}}= 288.15 ,$ $p_o \cdot \left[ {\rm hPa^{-1}} \right]= 1823.85$ na zewnątrz ciśnienie zaś wynosi $p_a \cdot \left[ {\rm kPa^{-1}} \right]= 101.325 ,$ maksymalna prędkość wypływu powietrza ze zbiornika wynosi $v_{max} \cdot \left[ {\rm m^{-1}} \right]/\left[ {\rm s^{-1}} \right]= 760.91668565 ,$ lokalna Liczba Macha wynosi $M= 0.879188935864 .$

Źródło CalcTEX-a

\title{Obliczenie prędkości wypływu ze zbiorniku dla przepływu okołodźwiekowego}
\author{e-mail:\EmailToCalcTeX\\ 
www: \linkurl{http://sg.bzip.pl/CalcTeX}{http://sg.bzip.pl/Calc\TeX}}
\keywords{przepływ tranoniczny, wypływ transoniczny ze zbiornika, 
Równanie Bernulliego, Saint-Vennanta i~Wantzela, Liczba Macha}
%\maketitle
%\tableofcontents
\noindent
ver calc r4c, Ostatnia zmiana: 2008-11-2 18:33, kompilacja: \today \dotfill sgh.\\
%\newpage
\noindent
Obliczenia wykonano za pomocą pakietu 
\linkurl{http://sg.bzip.pl/CalcTeX}{Calc\TeX}:\\
\linkurl{http://sg.bzip.pl/CalcTeX}{http://sg.bzip.pl/CalcTeX}\\
\EmailToCalcTeX
%\newpage
\\"[2ex]" \noindent

{\bf \Large Zadanie -- wypływ okołodźwiękowy ze zbiornika\\"[2ex]"}

Oblicz prędkość wypływu powietrza ze zbiornika, 
jeśli ciśnienie powietrza w~zbiorniku wynosi
$p_o:=1.8\cdot \atm$ a~temperatura
$T_o:=(15+273.15)\cdot \K","$ 
zaś ciśnienie otoczenia -- na zewnątrz zbiornika wynosi 
$p_{a}:=760.0\cdot \mmhg$
oraz oblicz maksymalną możliwą prędkość wypływu 
jak i~lokalną Liczbę Macha dla prędkości wypływu.
\\"[2ex]" 
\noindent 
{\bf \Large Rozwiązanie  \\"[2ex]"}
Dla powietrza mamy:
\\
$\kappa:=1.4$ -- wykładnik adiabaty dla powietrza\\
$R_{air}:=287.05\cdot \J/(\kg\cdot \K)$ -- indywiadualna stała gazowa dla powietrza\\

Dane:\\
$T_o\cdot \oK $ -- temperatura w~zbiorniku,\\
$p_o\cdot\ohPa$ -- ciśnienie w~zbiorniku,\\
$p_a\cdot\ohPa$ -- ciśnienie na zewnątrz zbiornika.
\\"[2ex]" 

\begin{figure}"[!hb]"
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.65]{figs/tank}
\caption{Schemat zbiornika z zaznaczonym ciśnieniem w~zbiorniku $"p_o"$ 
i~ciśnieniem na zewnątrz zbiornika $"p_a."$}
\label{tank}
\end{center}
\end{figure}

Obliczenie współczynnika $"\beta"$ określającego charakter przepływu

\[
"\beta=\frac{p_{a}}{p_o};\;\;\;\;
%\beta_{kr}=\left( \frac{2.0}{\kappa+1}\right) ^{\kappa/(\kappa-1)};\;\;\;\;
"
\beta_{kr}:=\left( \frac{2.0}{\kappa+1}\right) ^{\kappa/(\kappa-1)}
";\;\;"
\beta_{kr}\]
w naszym przypadku
\[\beta:=\frac{p_a}{p_o}
";\;\;\;"
\beta\]
Równanie Bernulliego dla gazu nieściśliwego o postaci (\ref{rb}):
\begin{equation}"
\frac{1}{2}\rho_o v_o^2 + p_o = \frac{1}{2}\rho_1 v_1^2 + p_1
\label{rb}
"\end{equation}
ulegnie przekształceniu przez wprowadzenie  wyrażenia na gęstość dla 
przemiany np. adiabatycznej
\begin{equation}"
\frac{p_o}{p_1}=\left( \frac{\rho_o}{\rho_1}\right)^{\kappa}
\label{adiabata}
"\end{equation}
gdzie $"\kappa=c_p/c_v"$
wówczas otrzymamy równanie Bernulliego w postaci:
\begin{equation}"
\frac{v_o^2}{2}+\frac{\kappa}{\kappa-1}\frac{p_o}{\rho_o}
=\frac{v_1^2}{2}+\frac{\kappa}{\kappa-1}\frac{p_1}{\rho_1}
\label{rbk}
"\end{equation}
Prędkość wypływy powietrza ze zbiornika można wyliczyć z~zależności 
Saint-Vennanta i~Wantzela w~formie (\ref{sww}) którą wyznaczamy 
na podstawie zależności (\ref{rbk}) przy założeniu $v_o:=0$ 
\begin{equation}
"v_{exit}:=\sqrt{ 2\cdot\frac{\kappa}{\kappa-1} \cdot \frac{p_o}{\rho_o}\cdot 
\left( 1-\left(\frac{p_{a}}{p_o} \right)^{ \left( \kappa -1\right)/\kappa}\right) }
\label{sww}"
\end{equation}
lub stosując równanie stanu gazu doskonałego
\begin{equation}"
pV=mRT;\;\; m=\rho V;\;\;pV=\rho VRT\;\;\Leftrightarrow 
\frac{p_o}{\rho_o}=RT \label{rsg}
"\end{equation}
Podstawiając (\ref{rsg}) do (\ref{sww}) otrzymamy (\ref{vexit}):
\begin{equation} 
% Niestety do wersji CalcTeX-a 4.0 nie jest możliwe łamanie 
% wzorów  do obliczeń wiec poniższy wzór musi być zapisany w jednej lini 
v_{exit}:=\sqrt{ 2\cdot\frac{\kappa}{\kappa-1} \cdot R_{air}\cdot T_o\cdot \left( 1-\left(\frac{p_{a}}{p_o} \right)^{ \left( \kappa -1\right)/\kappa}\right) }
";\;\;\;"
v_{exit}\cdot\om/\os
"\label{vexit}"
\end{equation}
Maksymalna możliwa prędkość wypływu  powietrza ze zbiornika uzyskamy gdy
$"p_a/p_o=0"$ wówczas otrzymamy:
\[v_{kr}:=\sqrt{ \frac{2\cdot \kappa}{\kappa -1} \cdot R_{air}\cdot T_o}
";\;\;\;"
v_{kr}\cdot\om/\os\]
$v_{max}:=v_{kr}$\dotfill $v_{max}\cdot\okm/\ohr$\\
Lokalna prędkość dźwięku (dla przemiany adiabatycznej):
\[a_{l}:=\sqrt{ \kappa \cdot R_{air} \cdot T_o }
";\;\;\;"
a_{l}\cdot \om/\os\]
Lokalna Liczba Macha
\[M:=\frac{v_{exit}}{a_l}
";\;\;" 
M\]
{\bf Odp.:} Prędkość wypływy powietrza ze zbiornika wynosi
$v_{exit}\cdot\om/\os","$ 
jeśli w~zbiorniku panują warunki $T_o\cdot \oK","$
$p_o\cdot\ohPa$ na zewnątrz  ciśnienie zaś wynosi $p_a\cdot\okPa","$
maksymalna prędkość wypływu powietrza ze zbiornika wynosi 
$v_{max}\cdot\om/\os","$ lokalna Liczba Macha wynosi $M"."$
\newpage \scriptsize 
\small  \noindent {\large \\"[1ex]"\bf Źródło Calc\TeX-a \\"[1ex]"}
\verbatiminput{tsf-latin2-pl-calc.tex} \normalsize